無味乾燥な数学用語では、分数は 1 の一部として表される数値です。 分数は人間の生活の中で広く使用されています。料理のレシピで割合を示したり、競技会で小数点を与えたり、店舗での割引を計算するために分数を使用したりします。

分数の表現

1 つの分数を記述するには、10 進数形式と通常の分数形式の少なくとも 2 つの形式があります。 10 進数形式では、数値は 0.5 のように見えます。 0.25 または 1.375。 これらの値はいずれも普通の分数として表すことができます。

• 0,5 = 1/2;
• 0,25 = 1/4;
• 1,375 = 11/8.

そして、0.5 と 0.25 を普通の分数から小数に簡単に変換したり、逆に変換したりすると、数値 1.375 の場合、すべてが明らかではなくなります。 小数を素早く分数に変換するにはどうすればよいでしょうか? 簡単な方法が 3 つあります。

カンマを取り除く

最も単純なアルゴリズムでは、分子からカンマが消えるまで数値を 10 倍します。 この変換は次の 3 つの手順で実行されます。

ステップ1: まず、10 進数を分数「数値/1」として書きましょう。つまり、0.5/1 になります。 0.25/1 および 1.375/1。

ステップ2: この後、分子からカンマが消えるまで、新しい分数の分子と分母を掛けます。

• 0,5/1 = 5/10;
• 0,25/1 = 2,5/10 = 25/100;
• 1,375/1 = 13,75/10 = 137,5/100 = 1375/1000.

ステップ3: 得られた画分を消化可能な形に縮小します。

• 5/10 = 1 × 5 / 2 × 5 = 1/2;
• 25/100 = 1 × 25 / 4 × 25 = 1/4;
• 1375/1000 = 11 × 125 / 8 × 125 = 11/8。

1.375 という数値は 10 を 3 回掛ける必要があり、あまり便利ではありませんが、0.000625 という数値を変換する必要がある場合はどうすればよいでしょうか。 この状況では、次のような分数の変換方法を使用します。

カンマの削除がさらに簡単に

最初の方法では、小数点からカンマを「削除」するアルゴリズムを詳細に説明していますが、このプロセスを簡略化することもできます。 ここでも 3 つのステップに従います。

ステップ1: 小数点以下の桁数を数えます。 たとえば、数値 1.375 にはそのような桁が 3 つあり、0.000625 には 6 つあります。 この数量を文字 n で表します。

ステップ2: ここで、分数を C/10 n の形式で表す必要があります。ここで、C は分数の有効桁 (ゼロがある場合は含まない)、n は小数点以下の桁数です。 例えば：

• 数値 1.375 C = 1375、n = 3 の場合、式 1375/10 3 = 1375/1000 による最終分数。
• 数値 0.000625 C = 625、n = 6 の場合、式 625/10 6 = 625/1000000 による最終分数。

本質的に、10n は 1 に n 個のゼロがあるため、わざわざ 10 をべき乗する必要はなく、1 に n 個のゼロを加えるだけです。 この後、ゼロが多く含まれる部分を減らすことをお勧めします。

ステップ3: ゼロを減らして最終結果を取得します。

• 1375/1000 = 11 × 125 / 8 × 125 = 11/8;
• 625/1000000 = 1 × 625/1600 × 625 = 1/1600。

分数 11/8 は、分子が分母より大きいため、仮分数です。つまり、部分全体を分離できることを意味します。 この状況では、11/8 から 8/8 の全体を引いて、余り 3/8 が得られるため、分数は 1 と 3/8 のように見えます。

耳で変換

小数を正しく読める人にとって、それを変換する最も簡単な方法は、聞くことです。 0.025 を「ゼロ、ゼロ、二十五」ではなく「千分の 25」と読めば、問題なく小数を分数に変換できます。

0,025 = 25/1000 = 1/40

したがって、10 進数を正しく読み取ると、それをすぐに分数として書き留め、必要に応じて減らすことができます。

日常生活での分数の使用例

一見すると、普通の分数は日常生活や仕事ではほとんど使われず、学校の課題以外で小数を正分数に変換する必要がある状況を想像するのは困難です。 いくつかの例を見てみましょう。

仕事

あなたはキャンディーストアで働き、ハルヴァを量り売りしています。 製品を売りやすくするために、ハルバをキログラムの練炭に分割しますが、キログラム全体を購入する購入者はほとんどいません。 したがって、おやつを毎回分割する必要があります。 そして、次の買い手があなたに0.4kgのハルバを要求した場合、あなたは問題なく必要な部分を彼に売るでしょう。

0,4 = 4/10 = 2/5

人生

たとえば、モデルを希望の色合いでペイントするには、12% の溶液を作成する必要があります。 これを行うには、塗料と溶剤を混合する必要がありますが、正しく行うにはどうすればよいでしょうか? 12% は 0.12 の小数です。 数値を公分数に変換すると、次のようになります。

0,12 = 12/100 = 3/25

分数を知ることで、材料を正しく混合し、希望の色を得ることができます。

結論

分数は日常生活でよく使用されるため、小数を分数に変換する必要が頻繁にある場合は、結果を短縮分数として即座に取得できるオンライン計算機を使用するとよいでしょう。

分数

注意！
追加もあります
特別セクション 555 の資料。
とても「あまり…」という方へ。
そして「とても…」という人のために）

高校では分数はそれほど面倒ではありません。 当面。 有理指数と対数を使った累乗に出会うまでは。 そしてそこに... 電卓を押し続けると、いくつかの数字が完全に表示されます。 ３年生と同じように頭を使って考えなければなりません。

いよいよ分数を計算しましょう！ さて、どれだけ混乱できるでしょうか！ しかも、すべてがシンプルかつ論理的です。 それで、 分数の種類は何ですか?

分数の種類。 変身。

分数には3種類あります。

1. 共通分数 、 例えば：

水平線の代わりにスラッシュを入れることもあります: 1/2、3/4、19/5、まあなど。 ここではこの綴りをよく使います。 一番上の番号を呼びます 分子、 より低い - 分母。これらの名前を常に混同する場合は (よくあることですが...)、次のフレーズを自分に言い聞かせてください。 ズズズズ覚えて！ ズズズズ分母 - 見てください ズズズズああ！」ほら、すべてが思い出されるでしょう。）

水平または斜めのダッシュは、次のことを意味します。 分割上の数値（分子）から下の数値（分母）まで。 それだけです！ ダッシュの代わりに、分割記号 (2 つのドット) を入れることもかなり可能です。

完全な分割が可能な場合は、これを行う必要があります。 したがって、分数「32/8」の代わりに、数字「4」を書く方がはるかに快適です。 それらの。 32 を単純に 8 で割ります。

32/8 = 32: 8 = 4

分数「4/1」の話でもありません。 これも単なる「4」です。 完全に割り切れない場合は、分数として残します。 場合によっては、逆の操作を行う必要があります。 整数を分数に変換します。 しかし、それについては後で詳しく説明します。

2. 小数 、 例えば：

このフォームには、タスク「B」の答えを書き留める必要があります。

3. 帯分数 、 例えば：

高校では帯分数はほとんど使われません。 これらを扱うには、通常の分数に変換する必要があります。 しかし、これは絶対にできるようにする必要があります。 そうしないと、問題でそのような数値に遭遇してフリーズしてしまいます...どこからともなく。 でも、この手順は覚えておきます！ もう少し低いです。

最も汎用性の高い 公分数。 まずはそれらから始めましょう。 ちなみに、分数にあらゆる種類の対数、正弦、その他の文字が含まれている場合は、何も変わりません。 全てがそうなるという意味では、 分数式を使用したアクションは、通常の分数を使用したアクションと何ら変わりません。!

分数の主なプロパティ。

じゃ、行こう！ まず、あなたを驚かせます。 さまざまな分数変換が 1 つのプロパティによって提供されます。 それがそう呼ばれています 分数の主な性質。 覚えて： 分数の分子と分母に同じ数を掛ける（割る）場合、分数は変わりません。それらの：

顔が青くなるまで書き続けることができることは明らかです。 正弦と対数について混乱させないでください。これらについてはさらに詳しく説明します。 重要なことは、これらのさまざまな表現はすべて次のとおりであることを理解することです。 同じ分数 . 2/3.

これらすべての変革は必要でしょうか？ そしてどうやって！ 今、あなた自身の目で見てみましょう。 まず、分数の基本的な性質を使ってみましょう。 分数を減らす。 それは初歩的なことのように思えるでしょう。 分子と分母を同じ数で割れば完了です。 間違えるなんてありえない！ しかし...人間は創造的な存在です。 どこでも間違いを犯す可能性があります！ 特に、5/10 のような分数ではなく、あらゆる種類の文字を含む分数式を約分する必要がある場合はそうです。

余分な作業をせずに分数を正確かつ迅速に減らす方法については、特別セクション 555 を参照してください。

普通の学生は、分子と分母を同じ数 (または式) で割ることを気にしません。 上下に同じものをすべて取り消し線で消すだけです。 ここに典型的な間違い、言ってみれば大失敗が潜んでいます。

たとえば、次の式を簡略化する必要があります。

ここでは何も考える必要はありません。上の文字「a」と下の「2」を取り消してください。 我々が得る：

すべてが正しいです。 でも本当にあなたは分けたのです 全て 分子と 全て 分母は「a」です。 取り消し線を引くことに慣れている場合は、急いで式の中の「a」を取り消し線で消すことができます。

そしてまたそれを手に入れてください

それは完全に真実ではありません。 ここだから 全て「a」の分子はすでに 共有しない！ この割合を減らすことはできません。 ちなみに、このような削減は、ええと、教師にとっては深刻な課題です。 これは許されません！ 覚えていますか？ 減らす場合は分割する必要があります 全て 分子と 全て 分母！

分数を減らすと作業がずっと楽になります。 たとえば、375/1000 などの端数がどこかに表示されます。 どうすれば今も彼女と仕事を続けることができますか? 電卓がないのですか？ 掛け算、足し算、二乗!? そして、あなたがあまりにも怠け者でなければ、慎重にそれを5つ減らし、さらに5つ減らし、さらに...つまり、短くしている間に。 3/8をゲットしましょう！ ずっといいですよね？

分数の主なプロパティを使用すると、通常の分数を小数に変換したり、その逆を行うことができます。 電卓なしで！ これは統一国家試験にとって重要ですよね？

分数をある型から別の型に変換する方法。

小数を使えばすべてが簡単になります。 聞いた通りに書かれているのです！ 0.25としましょう。 これは 100 分の 0 ポイント 25 です。 したがって、25/100 と書きます。 減らすと (分子と分母を 25 で割ります)、通常の分数 1/4 が得られます。 全て。 それは起こりますが、何も減りません。 0.3みたいな。 これは 10 分の 3、つまり 3/10。

整数がゼロでない場合はどうなるでしょうか? 大丈夫です。 分数全体を書き留めます コンマなしで分子と分母で、何が聞こえるか。 例: 3.17。 これは 1700 分の 3 です。 分子に 317、分母に 100 を書くと、317/100 となります。 何も減らない、それがすべてを意味します。 これが答えです。 小学生のワトソン！ これまで述べてきたことから、有益な結論が得られます。 任意の小数は公用分数に変換できます .

しかし、計算機がないと普通から小数への逆変換ができない人もいます。 そしてそれは必要です！ 統一国家試験の答えはどうやって書くの！ よく読んでこのプロセスをマスターしてください。

小数部の特徴は何ですか? 彼女の分母は いつもコストは 10、100、1000、10000 などです。 公分数の分母がこのようなものであれば問題ありません。 たとえば、4/10 = 0.4 となります。 または 7/100 = 0.07。 または、12/10 = 1.2。 セクション「B」のタスクの答えが 1/2 だった場合はどうなるでしょうか? 返事は何と書きましょうか？ 小数点は必須です...

覚えておきましょう 分数の主な性質 ！ 数学では、分子と分母に同じ数を掛けることができます。 ちなみに何でも！ もちろんゼロを除いて。 では、この特性を有効に活用してみましょう。 分母に何をかけることができるか、つまり 2 を 10 にするか、100 にするか、1000 にするか (もちろん小さい方が良いです...)? 5歳の時は当然だ。 分母を自由に掛けてください（これは 私たちただし、分子にも 5 を掛ける必要があります。これはすでに 数学要求します！ 1/2 = 1x5/2x5 = 5/10 = 0.5 となります。 それだけです。

ただし、あらゆる種類の分母が登場します。 たとえば、分数 3/16 が出てきます。 16 に何をかけると 100 または 1000 になるか考えてみてください...うまくいきませんか? 次に、単純に 3 を 16 で割ります。電卓がない場合は、小学校で教えたように、紙の上で角で割る必要があります。 0.1875 となります。

そして、非常に悪い分母もあります。 たとえば、分数の 1/3 を適切な小数に変換する方法はありません。 電卓と紙の両方で、0.3333333 が得られます...これは、1/3 が正確な小数であることを意味します 翻訳しません。 1/7、5/6 などと同じです。 翻訳できないものもたくさんあります。 これにより、別の有益な結論がもたらされます。 すべての分数を小数に変換できるわけではありません !

ちなみに、これは自己テストに役立つ情報です。 セクション「B」では、答えに小数を記入する必要があります。 たとえば、4/3 が得られます。 この分数は小数に変換されません。 これは、途中のどこかで間違いを犯したことを意味します。 戻って解決策を確認してください。

そこで、常分数と小数を計算しました。 残っているのは帯分数を扱うことだけです。 これらを扱うには、通常の分数に変換する必要があります。 どうやってするの？ ６年生を捕まえて聞いてみるといいでしょう。 でも、6 年生がいつもそばにいるわけではありません...自分でやる必要があります。 難しくない。 小数部分の分母に整数部分を掛けて、小数部分の分子を加算する必要があります。 これが公分数の分子になります。 分母はどうでしょうか？ 分母は変わりません。 複雑そうに聞こえますが、実際にはすべてが単純です。 例を見てみましょう。

問題内の数字を見て愕然としたとします。

パニックにならずに、冷静に考えます。 全体の部分は 1. ユニットです。 小数部は3/7です。 したがって、小数部の分母は7になります。この分母が普通分数の分母となります。 分子を数えます。 7 に 1 (整数部分) を掛け、3 (小数部分の分子) を加えます。 10 が得られます。これは公分数の分子になります。 それだけです。 数学的表記ではさらに単純に見えます。

明らかですか？ それならあなたの成功を確実にしましょう！ 普通の分数に変換します。 10/7、7/2、23/10、21/4 を取得する必要があります。

逆の演算 (仮分数を帯分数に変換する) が高校で要求されることはほとんどありません。 そうだとしたら... 高校生でない場合は、特別セクション 555 を調べることができます。 ちなみに、仮分数についてもそこで学びます。

まあ、実質的にはそれだけです。 分数の種類を覚えて理解できた どうやって あるタイプから別のタイプに転送します。 疑問は残ります: 何のために やれ？ この深い知識をいつ、どこに適用すればよいでしょうか?

私が答える。 どの例も、それ自体が必要なアクションを示唆しています。 この例では、普通の分数、小数、さらには帯分数が混在している場合、すべてを普通の分数に変換します。 それはいつでもできる。 そうですね、0.8 + 0.3 などと書かれている場合は、翻訳せずにそのように数えます。 なぜ余分な作業が必要なのでしょうか? 便利なソリューションを選択します 私たち !

タスクがすべて小数の場合、でも...ある種の邪悪なタスクである場合は、通常のタスクに切り替えて、試してみてください。 ほら、すべてうまくいくよ。 たとえば、数値 0.125 を 2 乗する必要があります。 電卓の使用に慣れていないと、それほど簡単ではありません。 列内の数値を掛けるだけでなく、カンマをどこに挿入するかも考慮する必要があります。 頭では絶対にダメですよ！ 普通の分数に移ったらどうなるでしょうか？

0.125 = 125/1000。 それを 5 減らします (これは手始めに)。 25/200 が得られます。 もう一度 5 までに 5/40 を取得します。 ああ、まだ縮んでる！ 5に戻ります！ 1/8が得られます。 これを簡単に二乗すると (頭の中で!) 1/64 が得られます。 全て！

この教訓を要約しましょう。

1. 分数には 3 種類あります。 一般的な、10 進数および帯分数。

2. 小数と帯分数 いつも普通の分数に変換できます。 逆転送 常にではない利用可能。

3. タスクで使用する分数の種類の選択は、タスク自体によって異なります。 1 つのタスク内にさまざまな種類の分数が含まれる場合、最も確実なのは通常の分数に切り替えることです。

これで練習できるようになりました。 まず、これらの小数を通常の分数に変換します。

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

次のような答えが得られるはずです (めちゃくちゃです!):

ここで終わりにしましょう。 このレッスンでは、分数に関する重要なポイントについて記憶を新たにしました。 ただし、リフレッシュする特別なものがないことが起こります...) 誰かが完全に忘れているか、まだ習得していない場合...その後、特別なセクション 555 に進むことができます。 すべての基本はそこで詳しく説明されています。 突然たくさんの すべてを理解するが始まっています。 そして分数もその場で解決します)。

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ちなみに、他にも興味深いサイトがいくつかあります。)

例題を解く練習をして自分のレベルを知ることができます。 即時検証によるテスト。 興味を持って学びましょう！）

関数と導関数について知ることができます。

分数は、1 つ以上の単位で構成される数値です。 数学における分数には、常分、帯分、小数の 3 種類があります。

• 
  共通分数

通常の分数は、分子が数値から何部分を取り出すかを反映し、分母が単位を何部分に分割するかを示す比率として記述されます。 分子が分母より小さい場合、適切な分数が得られます (例: 1/2、3/5、8/9)。

分子が分母以上の場合、仮分数を扱っていることになります。 例: 5/5、9/4、5/2 分子を割ると有限の数が得られることがあります。 たとえば、40/8 = 5 です。したがって、任意の整数は、通常の仮分数または一連のそのような分数として書くことができます。 同じ数値のエントリを、複数の異なる数値の形式で考えてみましょう。

• 混合分数

一般に、帯分数は次の式で表すことができます。

したがって、帯分数は整数と通常の固有分数として書かれ、そのような表記は全体とその小数部分の和として理解されます。

• 小数

小数は、分母を 10 のべき乗として表すことができる特殊なタイプの分数です。小数には無限小数と有限小数があります。 この種の分数を記述する場合は、最初に整数部分を示し、次に小数部分を区切り文字 (ピリオドまたはカンマ) を介して記録します。

小数部の表記は常にその寸法によって決まります。 10 進表記は次のようになります。

異なる種類の分数間の変換ルール

• 帯分数を公分数に変換する

帯分数は仮分数にのみ変換できます。 翻訳するには、全体部分を小数部分と同じ分母にする必要があります。 一般的には次のようになります。
具体的な例を使用して、このルールの使用法を見てみましょう。

• 公分数を帯分数に変換する

仮分数は単純な割り算で帯分数に変換でき、整数部分と余り（小数部分）が得られます。

たとえば、分数 439/31 を混合に変換してみましょう。
​​

• 分数の変換

場合によっては、分数を小数に変換するのが非常に簡単です。 この場合、分数の基本的な性質が適用されます。つまり、除数を 10 の累乗にするために、分子と分母に同じ数が掛けられます。

例えば：

場合によっては、角で割るか電卓を使用して商を求めることが必要になる場合があります。 また、一部の分数は最終的な小数に約分できません。 たとえば、分数 1/3 を割っても最終的な結果は得られません。

最初は、分数とは何か、そして分数にはどのような種類があるのか​​を知る必要があります。 そして3種類あります。 最初の数値は、通常の分数 (たとえば、1/2、3/7、3/432 など) です。これらの数値は、水平ダッシュを使用して書くこともできます。 1 つ目と 2 つ目はどちらも同様に当てはまります。 上の数字を数字、下の数字を分母といいます。 この 2 つの名前を常に混同する人々に対する格言もあります。 それは次のようになります。 Zzzz 分母 - downzzzz! 」 これは混乱を避けるのに役立ちます。 公分数とは、互いに割り切れる 2 つの数値です。 それらのダッシュは分割記号を示します。 コロンに置き換えることもできます。 「分数を数値に変換する方法」という質問であれば、それは非常に簡単です。 分子を分母で割るだけです。 それだけです。 分数は翻訳されました。

2 番目の種類の分数は 10 進数と呼ばれます。 これは、カンマが後に続く一連の数字です。 たとえば、0.5、3.5 などです。これらが 10 進数と呼ばれたのは、歌われた数字の後に最初の桁が「十」を意味し、2 番目の桁が「百」の 10 倍などを意味するためです。 そして、小数点の前の最初の桁は整数と呼ばれます。 たとえば、2.4 という数字は、12 ポイント 2 と 234/1000 のように聞こえます。 このような分数は、主に 2 つの数値を剰余なしで除算することができないという事実により表示されます。 そして、ほとんどの分数は数値に変換すると小数になります。 たとえば、1 秒は 0.5 に相当します。

そして最後の3番目の視点。 これらは帯分数です。 この例としては 2 1/2 が挙げられます。 2つの丸と1秒のように聞こえます。 高校では、この種の分数は使用されなくなります。 おそらく、通常の分数形式または小数形式に変換する必要があります。 やり方も簡単です。 整数に分母を掛けて、その結果の表記を数値に加算するだけです。 2 1/2 の例を見てみましょう。 2 に 2 を掛けると 4 になります。 4 プラス 1 は 5 になります。 そして、形状 2 1/2 の一部は 5/2 になります。 そして、5 を 2 で割ると、小数として得られます。 2 1/2 = 5/2 = 2.5。 分数を数値に変換する方法はすでに明らかになりました。 分子を分母で割るだけです。 数値が大きい場合は、電卓を使用できます。

整数が生成されず、小数点以下の桁数が多い場合は、この値を丸めることができます。 すべてが非常にシンプルにまとめられています。 まず、どの数値に丸める必要があるかを決定する必要があります。 例を考えてみましょう。 数値を 0 から 0、10,000 分の 9,756、つまりデジタル値 0.6 に四捨五入する必要があります。 四捨五入は百の位まで行う必要があります。 つまり、現時点では 100 分の 7 までということになります。 分数の数字 7 の後には 5 があります。 次に、丸めのルールを使用する必要があります。 5 より大きい数値は切り上げられ、5 より小さい数値は切り捨てられます。 この例では、その人は 5 を持っており、ボーダー上にありますが、上向きに四捨五入されていると考えられます。 これは、7 以降の数字をすべて削除し、それに 1 を追加することを意味します。 0.8であることがわかります。

公分数をすぐに数値に変換する必要があるが、近くに電卓がないという状況も発生します。 これを行うには、列分割を使用します。 最初のステップは、分子と分母を並べて紙に書きます。 それらの間には分割角が配置されており、文字「T」が横になっているように見えます。 たとえば、6 分の 10 という小数を取ることができます。 したがって、10 を 6 で割る必要があります。 10 の中に 6 は何個入るでしょうか。1 つだけです。 単位は角の下に書いてあります。 10 から 6 を引くと 4 になります。 4 の中に 6 は何個あるでしょうか。 これは、答えの 1 の後にカンマが置かれ、4 に 10 が掛けられることを意味します。 四十六時。 答えに6を加え、40から36を引きます。 それはまた4つであることがわかります。

この例ではループが発生しており、すべてをまったく同じように実行し続けると、答え 1.6(6) が得られますが、数値 6 は無限に続きますが、丸めルールを適用すると、数値を 1.7 にすることができます。 。 それははるかに便利です。 このことから、すべての普通の分数を小数に変換できるわけではないと結論付けることができます。 サイクルがあるものもあります。 ただし、任意の小数分数は単純な分数に変換できます。 ここでは基本的なルールが役に立ちます。「聞いたとおりに書かれる」ということです。 たとえば、1.5 という数字は 100 分の 1 ポイント 25 として聞こえます。 したがって、25 を 100 で割ったものを 1 つとして書き留める必要があります。 1 つの整数は 100 です。つまり、単純な分数は 125 掛ける 100 (125/100) になります。 すべてがシンプルかつ明確です。

ここまで、分数に関連する最も基本的なルールと変換について説明しました。 どれも単純ですが、知っておく必要があります。 分数、特に小数は長い間日常生活の一部でした。 これは店頭の値札にはっきりと表示されています。 誰も端数で価格を書くことがなくなって久しいですが、端数を使用すると、視覚的に価格がはるかに安く見えます。 また、人類がローマ数字に背を向けてアラビア数字を採用したのは、ローマ数字には分数がなかったからという説もあります。 そして多くの科学者がこの仮定に同意しています。 結局のところ、分数を使用すると、より正確に計算を行うことができます。 そして宇宙技術の時代では、計算の正確さがこれまで以上に求められています。 したがって、学校の数学で分数を勉強することは、多くの科学や技術の進歩を理解するために不可欠です。

この記事では、その方法を見ていきます 分数を小数に変換する、そしてその逆のプロセス、つまり小数を普通の分数に変換することも考えてみましょう。 ここでは、分数を変換するためのルールを概説し、典型的な例に対する詳細な解決策を示します。

ページナビゲーション。

分数を小数に変換する

対処する順序を示しましょう 分数を小数に変換する.

まず、分母が 10、100、1,000、... の分数を小数として表す方法を見ていきます。 これは、小数部の分数は本質的に、分母 10、100、... で通常の分数を記述するコンパクトな形式であるという事実によって説明されます。

その後、さらに進んで、通常の分数 (分母が 10、100 などの分数だけでなく) を小数として書く方法を示します。 常分数をこのように処理すると、有限小数と無限周期小数の両方が得られます。

それでは、すべてについて順番に話しましょう。

分母が 10、100、... の常用分数を小数に変換する

一部の適切な分数は、小数に変換する前に「事前準備」が必要です。 これは、分子の桁数が分母のゼロの数より少ない通常の分数に当てはまります。 たとえば、公用分数 2/100 は小数に変換するために最初に準備する必要がありますが、分数 9/10 は準備する必要がありません。

小数に変換するための適切な普通分数の「事前準備」は、分子の左側に多くのゼロを追加して、その合計桁数が分母のゼロの数と等しくなるようにすることで構成されます。 たとえば、ゼロを追加した後の分数は次のようになります。

適切な分数を準備したら、小数への変換を開始できます。

あげましょう 分母が 10、100、1,000 などの固有公分数を小数に変換する規則。 これは 3 つのステップで構成されます。

• 0を書き込みます。
• その後に小数点を置きます。
• 分子からの数値を書き留めます（ゼロを追加した場合は、追加したゼロも合わせて）。

例題を解くときにこのルールの適用を考えてみましょう。

例。

適切な分数 37/100 を小数に変換します。

解決。

分母には​​ゼロが 2 つある数値 100 が含まれています。 分子には数値 37 が含まれており、その表記は 2 桁であるため、この分数を小数に変換する準備をする必要はありません。

ここで、0 を書き、小数点を入力し、分子から 37 という数字を書くと、小数点 0.37 が得られます。

答え：

0,37 .

分子 10、100、... の適切な常分数を小数に変換するスキルを強化するために、別の例の解法を分析します。

例。

適切な分数 107/10,000,000 を小数として書きます。

解決。

分子の桁数は 3 で、分母のゼロの数は 7 であるため、この公分数は 10 進数に変換するために準備する必要があります。 分子の左側に 7-3=4 個のゼロを追加して、そこにある合計桁数が分母のゼロの数と等しくなるようにする必要があります。 我々が得る。

残っているのは、必要な小数部を作成することだけです。 これを行うには、最初に 0 を書き込み、次にカンマを入れ、最後に分子の数値をゼロと一緒に 0000107 と書き込みます。その結果、小数部 0.0000107 が得られます。

答え：

0,0000107 .

仮分数は、小数に変換するときに何の準備も必要ありません。 以下を遵守する必要があります 分母が 10、100、... の仮分数を小数に変換するためのルール:

• 分子からの数を書き留めます。
• 小数点を使用して、元の分数の分母にゼロがある数の右側の桁を区切ります。

例を解くときにこのルールを適用する方法を見てみましょう。

例。

仮分数 56,888,038,009/100,000 を小数に変換します。

解決。

まず、分子 56888038009 からの数値を書き留めます。次に、元の分数の分母にはゼロが 5 つあるため、右側の 5 桁を小数点で区切ります。 結果として、小数部 568880.38009 が得られます。

答え：

568 880,38009 .

帯分数を小数部分の分母が数値 10、100、または 1,000 などである小数に変換するには、帯分数を不適切な普通分数に変換し、その結果の分数を変換します。分数を小数に変換します。 ただし、次のようにすることもできます 分母が 10、100、または 1,000 などの帯分数を小数に変換する規則:

• 必要に応じて、分子の左側に必要な数のゼロを追加することで、元の帯分数の小数部の「予備準備」を実行します。
• 元の帯分数の整数部分を書き留めます。
• 小数点を入力します。
• 追加したゼロとともに分子からの数を書き留めます。

帯分数を小数として表すために必要な手順をすべて完了した例を見てみましょう。

例。

帯分数を 10 進数に変換します。

解決。

小数部分の分母にはゼロが 4 つありますが、分子には 2 桁の数字 17 が含まれているため、桁数が小数部の分母の数と等しくなるように、分子の左側にゼロを 2 つ追加する必要があります。分母にゼロが入っています。 これを行うと、分子は 0017 になります。

ここで、元の数値の整数部分、つまり数値 23 を書き留め、小数点を置き、その後、分子からの数値と追加のゼロ (つまり 0017) を書き込みます。すると、目的の小数が得られます。端数 23.0017。

ソリューション全体を簡単に書き留めてみましょう。 .

もちろん、帯分数を仮分数で表してから小数に変換することも可能です。 このアプローチを使用すると、ソリューションは次のようになります。

答え：

23,0017 .

分数を有限および無限の周期小数に変換する

分母が 10、100、... の普通分数だけでなく、他の分母の普通分数も小数に変換できます。 次に、これがどのように行われるかを見ていきます。

場合によっては、元の普通分数は分母 10、100、1,000 などのいずれかに簡単に減算されます (普通分数を新しい分母にするを参照)。その後、結果の分数を表すのは難しくありません。小数として。 たとえば、分数 2/5 は分母 10 の分数に分解できることは明らかです。そのためには、分子と分母に 2 を掛ける必要があります。これにより、分数 4/10 が得られます。前の段落で説明したルールは、小数 0, 4 に簡単に変換できます。

他の場合には、普通の分数を小数に変換する別の方法を使用する必要があります。これについては次に検討します。

普通の分数を小数分数に変換するには、分数の分子を分母で割ります。分子はまず、小数点以下に任意の数のゼロを含む等しい小数に置き換えられます (これについては、「等しいと」のセクションで説明しました)。小数が等しくない場合)。 この場合の割り算は、自然数の列による割り算と同じように行われ、被除数全体の割り算が終了した時点で商に小数点が置かれます。 これらすべては、以下に示す例の解決策から明らかになるでしょう。

例。

分数 621/4 を 10 進数に変換します。

解決。

分子 621 の数値を小数点とその後にいくつかのゼロを追加して、小数として表してみましょう。 まず、2 桁の 0 を追加します。後で、必要に応じて、いつでもゼロを追加できます。 したがって、621.00 になります。

次に、列を使用して数値 621,000 を 4 で割ってみましょう。 最初の 3 つのステップは自然数を列で割ることと何ら変わりません。その後、次の図が得られます。

このようにして配当の小数点に到達し、剰余はゼロとは異なります。 この場合、商に小数点を入れて、カンマに注意せずに列内の分割を続けます。

これで割り算が完了し、その結果、元の普通の分数に対応する小数部 155.25 が得られます。

答え：

155,25 .

資料を統合するには、別の例の解決策を検討してください。

例。

小数部 21/800 を 10 進数に変換します。

解決。

この公分数を小数に変換するには、小数の列 21,000... を 800 で割ります。 最初のステップの後、商に小数点を入れて、割り算を続ける必要があります。

最後に、余り 0 が得られ、公分数 21/400 から小数への変換が完了し、小数 0.02625 が得られました。

答え：

0,02625 .

普通の分数の分子を分母で割ったときに、それでも余りが 0 にならないことがあります。 このような場合、分割は無限に継続される可能性があります。 しかし、あるステップからは、余りが周期的に繰り返され、商の数字も繰り返されます。 これは、元の分数が無限の周期小数に変換されることを意味します。 これを例で示してみましょう。

例。

分数 19/44 を小数として書きます。

解決。

公用分数を小数に変換するには、列による除算を実行します。

除算では剰余 8 と 36 が繰り返され始め、商では数字 1 と 8 が繰り返されることはすでに明らかです。 したがって、元の公分数 19/44 は周期小数分数 0.43181818...=0.43(18) に変換されます。

答え：

0,43(18) .

この点の結論として、どの常分数が有限小数に変換できるのか、どの常分数が周期分数にしか変換できないのかを明らかにします。

既約常分数が目の前にあるとします (分数が約分できる場合は、まず分数を約分します)。そして、それがどの小数に変換できるか (有限または周期) を調べる必要があります。

普通の分数を分母 10、100、1,000、... のいずれかに減らすことができれば、得られた分数は、前の段落で説明したルールに従って、最終的な小数に簡単に変換できることは明らかです。 ただし、分母には 10、100、1,000 などがあります。 すべての普通の分数が与えられるわけではありません。 分母が数値 10、100、... の少なくとも 1 つである分数のみがそのような分母に還元できます。また、10、100、... の約数となる数値は何ですか? この質問には 10、100、... という数字が答えになります。10 = 2 5、100 = 2 2 5 5、1,000 = 2 2 2 5 5 5、... となります。 したがって、約数は 10、100、1,000 などになります。 素因数への分解に数値 2 と (または) 5 のみが含まれる数値のみが存在します。

これで、通常の分数を小数に変換することについて一般的な結論を下すことができます。

• 分母を素因数に分解する際に数値 2 と (または) 5 のみが存在する場合、この分数は最終的な小数に変換できます。
• 2 と 5 に加えて、分母の展開に他の素数がある場合、この分数は無限小数の周期分数に変換されます。

例。

普通の分数を小数に変換せずに、分数 47/20、7/12、21/56、31/17 のどれが最終小数に変換でき、どれが周期分数にのみ変換できるかを教えてください。

解決。

分数 47/20 の分母は、20=2・2・5 のように素因数分解されます。 この展開では 2 と 5 しかないため、この分数は分母 10、100、1,000、... (この例では分母 100) のいずれかに減らすことができ、最終的な 10 進数に変換できます。分数。

分数 7/12 の分母は、12=2・2・3 のように素因数分解されます。 2 や 5 とは異なり、素因数 3 が含まれるため、この分数は有限小数として表すことはできませんが、周期小数に変換できます。

分数 21/56 – 収縮性、収縮後は 3/8 の形になります。 分母を素因数に因数分解すると、2 に等しい因数が 3 つ含まれるため、公分数 3/8、つまり等しい分数 21/56 を最終的な小数に変換できます。

最後に、分数 31/17 の分母の展開は 17 そのものであるため、この分数は有限小数には変換できませんが、無限周期分数には変換できます。

答え：

47/20 と 21/56 は有限小数に変換できますが、7/12 と 31/17 は周期分数にのみ変換できます。

普通の分数は無限の非周期小数に変換されません

前の段落の情報から、「分数の分子を分母で割ると、無限の非周期分数が得られるでしょうか?」という疑問が生じます。

答え: いいえ。 公分数を変換すると、結果は有限小数または無限周期小数のいずれかになります。 その理由を説明しましょう。

剰余による割り算の定理から、剰余は常に除数より小さいことが明らかです。つまり、ある整数を整数 q で割った場合、剰余は 0、1、2 のいずれか 1 つのみになります。 , ..., q−1． したがって、列が公分数の分子の整数部分を分母 q で除算し終えた後、q ステップ以内に次の 2 つの状況のいずれかが発生します。

• または、剰余 0 が得られ、これで除算が終了し、最後の小数が得られます。
• または、以前にすでに出現した剰余を取得し、その後、前の例と同様に剰余を繰り返し始めます (等しい数を q で割ると等しい剰余が得られ、これはすでに述べた割り算定理から得られるため)。無限の周期小数になります。

他に選択肢がないため、普通分数を小数に変換する場合、無限の非周期小数を求めることはできません。

この段落で与えられた推論から、小数の周期の長さは常に、対応する普通分数の分母の値よりも小さいということになります。

小数を分数に変換する

ここで、小数を普通の分数に変換する方法を考えてみましょう。 最終的な小数を普通の分数に変換することから始めましょう。 この後、無限周期小数を反転する方法を考えます。 結論として、無限の非周期小数を普通の分数に変換することは不可能であるということについて話しましょう。

末尾の小数を分数に変換する

最終小数として書かれた分数を取得するのは非常に簡単です。 最終小数部を公分数に変換するための規則次の 3 つのステップで構成されます。

• まず、小数点と左側のすべてのゼロ (存在する場合) を事前に破棄して、指定された小数を分子に書き込みます。
• 次に、分母に 1 を書き込み、元の小数部の小数点以下の桁数と同じ数のゼロを追加します。
• 第三に、必要に応じて、結果の端数を減らします。

例の解決策を見てみましょう。

例。

小数の 3.025 を分数に変換します。

解決。

元の小数から小数点を削除すると、3,025 という数値が得られます。 左側には破棄できるゼロはありません。 したがって、必要な分数の分子に 3,025 を書き込みます。

元の小数では小数点以下が 3 桁あるため、分母に数値 1 を書き込み、その右側にゼロを 3 つ追加します。

したがって、公分数 3,025/1,000 が得られました。 この端数は 25 で減らすことができ、次のようになります。 .

答え：

.

例。

小数部 0.0017 を分数に変換します。

解決。

小数点がないと、元の小数は 00017 のようになり、左側のゼロを破棄すると、数値 17 が得られます。これは、目的の普通分数の分子です。

元の小数には小数点以下 4 桁があるため、分母にゼロが 4 つある 1 と書きます。

その結果、普通端数は 17/10,000 になります。 この分数は既約分数であり、小数分数から通常の分数への変換が完了します。

答え：

.

元の最終小数部の整数部がゼロ以外の場合、公用分数をバイパスして直ちに帯分数に変換できます。 あげましょう 最終小数を帯分数に変換するための規則:

• 小数点の前の数値は、希望する帯分数の整数部分として書き込む必要があります。
• 小数部分の分子には、左側のゼロをすべて捨てた後、元の小数の小数部分から取得した数値を記述する必要があります。
• 小数部の分母には数値 1 を書き留める必要があり、その数値の右側に、元の小数部の小数点以下の桁数と同じ数のゼロが追加されます。
• 必要に応じて、得られた混合数の小数部分を減算します。

小数を帯分数に変換する例を見てみましょう。

例。

小数部 152.06005 を帯分数として表現します