Сравнение величин по их числовым значениям. Как сравнить величины: пошаговая инструкция. Какие величины можно сравнивать: примеры. Сравниваем величины по количеству предметов

Взгляните на рисунок. Вы видите две мензурки, в каждой из которых налито некоторое количество жидкости. Скажите, в какой из мензурок жидкости больше? Если вы считаете, что в правой – вы ошибаетесь! Правильный ответ такой: погрешность, возникающая при измерении объема жидкости этими мензурками, не позволяет сказать, в какой мензурке налито больше жидкости.

Как же это следует понимать? Давайте вспомним, что использование любого измерительного прибора обязательно сопровождается погрешностью измерения. Она зависит от цены деления шкалы этого прибора. Поскольку на правой мензурке деления более крупные, значит, погрешность измерения объема будет больше. Измерим объемы жидкостей в мензурках с учетом погрешностей.

Изобразим на двух числовых прямых измеренные значения объемов (отмечены желтыми точками) и интервалы между границами погрешностей измерений:

В отличие от измеренных значений, истинные значения объемов жидкостей находятся в неизвестном месте внутри интервалов. Истинный объем жидкости в левой мензурке может быть равен, например, 270 мл, а истинный объем жидкости в правой мензурке, например, 250 мл (отмечены красными точками).

Мы специально выбрали второе «красное» число меньше первого (ведь такая ситуация тоже может быть). А это значит, что правая мензурка может содержать меньший объем жидкости, чем левая, несмотря на то, что уровень жидкости в правой мензурке выше. Невероятно, но факт!

Предмет: математика

Наименование учебно-методического комплекта (УМК): «РИТМ »

Тема урока: Сравнение чисел и величин по длине, объёму, массе .

Тип урока: Систематизация и обобщение знаний.

Цель урока: учить первоклассников устанавливать связи «схема-признак»; восстановить в их памяти способы сравнения предметов по изученным признакам; обобщить и закрепить материал о величинах (на примере величин длина, объем, масса).

Задачи урока:

Сформировать способность к описанию результатов наблюдений за свойствами предметов (цвет, форма, размер, материал, объем, площадь, масса);

Сформировать умение выделять совокупности предметов или фигур, обладающих общим признаком;

Тренировать мыслительные операции, развивать моторику мелких мышц, способность к самоконтролю, развивать навыки общения;

Воспитывать у учащихся отношения делового сотрудничества (доброжелательность друг к другу, уважать мнение других, уметь слушать товарищей);

Прививать интерес к предмету.

Планируемые результаты:

Личностные :

Формировать учебно-познавательный интерес к материалу;

Умение оценивать свою работу и работу своих товарищей;

Воспитывать ответственность за свою работу;

Развивать мотивацию к учению и познанию;

готовность и способность к саморазвитию, развитие толерантности.

Метапредметные:

регулятивные:

Уметь определять и формулировать цель на уроке с помощью учителя;

Проговаривать последовательность действий на уроке;

Понимать учебную задачу урока; осуществлять решение учебной задачи под руководством учителя;

Оценивать правильность выполнения действия на уровне адекватной ретроспективной оценки;

Высказывать своё предположение;

познавательные:

Уметь ориентироваться в своей системе знаний;

Находить ответы на вопросы, используя учебник, свой жизненный опыт и информацию, полученную на уроке;

коммуникативные:

Формулировать собственное мнение и позицию;

Слушать и понимать мнение других;

Выполнять правила работы в паре;

Предметные:

Умение отличать свойства предметов, которые являются величинами, от тех свойств, которые не являются величинами;

Знания о том, что можно делать с величинами: сравнивать, измерять;

Умение сравнивать величины и их числовые значения;

Умение сравнивать результаты;

Умение работать в группе.

Оборудование урока : демонстрационные карточки с названиями признаков (длина, объем, цвет, площадь, форма, периметр, ширина, материал, масса), карточки (индивидуальные), весы, 4 кубика (внешне одинаковые, но различные по массе – 2 кубика одинаковой массы), демонстрационный кораблик, презентация к уроку.

Оборудование: мультимедийный проектор, компьютер, раздаточный материал для работы групп (шарики, мячики, коробочки из разного материала, разные по размеру, воздушные шары, проволока), математический веер, карточки для индивидуальной работы.

ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА УРОКА

Относительная величина – это результат деления (сравнения) двух абсолютных величин. В числителе дроби стоит величина, которую сравнивают, а в знаменателе – величина, с которой сравнивают (база сравнения). Например, если сопоставить величины экспорта США и России, которые в 2005 году составили 904,383 и 243,569 млрд. долл. соответственно, то относительная величина покажет, что величина экспорта США в 3,71 раза (904,383/243,569) больше экспорта России, при этом базой сравнения является величина экспорта России. Полученная относительная величина выражена в виде коэффициента , который показывает, во сколько раз сравниваемая абсолютная величина больше базисной. В данном примере база сравнения принята за единицу. В случае если основание принимается за 100, относительная величина выражается в процентах (% ), если за 1000 – в промилле (‰ ). Выбор той или иной формы относительной величины зависит от ее абсолютного значения:

– если сравниваемая величина больше базы сравнения в 2 раза и более, то выбирают форму коэффициента (как в вышеприведенном примере);

– если относительная величина близка к единице, то, как правило, ее выражают в процентах (например, сравнив величины экспорта России в 2006 и 2005 годах, которые составили 304,5 и 243,6 млрд. долл. соответственно, можно сказать, что экспорт в 2006 году составляет 125% от 2005 года );

– если относительная величина значительно меньше единицы (близка к нулю), ее выражают в промилле (например, в 2004 году Россия экспортировала в страны-СНГ всего 4142 тыс. т нефтепродуктов, в том числе в Грузию 10,7 тыс. т, что составляет 0,0026 , или 2,6‰ от всего экспорта нефтепродуктов в страны СНГ).

Различают относительные величины динамики, структуры, координации, сравнения и интенсивности, для краткости именуемые в дальнейшем индексами .

Индекс динамики характеризует изменение какого-либо явления во времени. Он представляет собой отношение значений одной и той же абсолютной величины в разные периоды времени. Данный индекс определяется по формуле (2):

где цифры означают: 1 – отчетный или анализируемый период, 0 – прошлый или базисный период.

Критериальным значением индекса динамики служит единица (или 100%), то есть если >1, то имеет место рост (увеличение) явления во времени; если =1 – стабильность; если <1 – наблюдается спад (уменьшение) явления. Еще одно название индекса динамики – индекс изменения , вычитая из которого единицу (100%), получают темп изменения (динамики) с критериальным значением 0, который определяется по формуле (3):

Если T >0, то имеет место рост явления; Т =0 – стабильность, Т <0 – спад.

В рассмотренном выше примере про экспорт России в 2006 и 2005 году был рассчитан именно индекс динамики по формуле (2): i Д = 304,5/243,6*100% = 125%, что больше критериального значения 100%, что свидетельствует об увеличении экспорта. Используя формулу (3) получим темп изменения: Т = 125% – 100% = 25%, который показывает, что экспорт увеличился на 25%.

Разновидностями индекса динамики являются индексы планового задания и выполнения плана, рассчитываемые для планирования различных величин и контроля их выполнения.

Индекс планового задания – это отношение планового значения признака к базисному. Он определяется по формуле (4):

где X’ 1 – планируемое значение; X 0 – базисное значение признака.

Например, таможенное управление перечислило в федеральный бюджет в 2006 году 160 млрд.руб., а на следующий год запланировали перечислить 200 млрд.руб., значит по формуле (4): i пз = 200/160 = 1,25, то есть плановое задание для таможенного управления на 2007 год составляет 125% от предыдущего года.

Для определения процента выполнения плана необходимо рассчитать индекс выполнения плана , то есть отношение наблюдаемого значения признака к плановому (оптимальному, максимально возможному) значению по формуле (5):

Например, на январь-ноябрь 2006 года таможенные органы запланировали перечислить в федеральный бюджет 1,955 трлн. руб., но фактически перечислили 2,59 трлн. руб., значит по формуле (5): i ВП = 2,59/1,955 = 1,325, или 132,5%, то есть плановое задание выполнили на 132,5%.

Индекс структуры (доля ) – это отношение какой-либо части объекта (совокупности) ко всему объекту. Он определяется по формуле (6):

В рассмотренном выше примере про экспорт нефтепродуктов в страны СНГ, была рассчитана доля этого экспорта в Грузию по формуле (6): d =10,7/4142 = 0,0026, или 2,6‰ .

Индекс координации – это отношение какой-либо части объекта к другой его части, принятой за основу (базу сравнения). Он определяется по формуле (7):

Например, импорт России в 2006 году составил 163,9 млрд.долл., тогда, сравнив его с экспортом (база сравнения), рассчитаем индекс координации по формуле (7): i К = 163,9/304,5 = 0,538, который показывает соотношение между двумя составными частями внешнеторгового оборота, то есть величина импорта России в 2006 году составляет 53,8% от величины экспорта. Меняя базу сравнения на импорт, по той же формуле получим: i К = 304,5/163,9 = 1,858, то есть экспорт России в 2006 году в 1,858 раза больше импорта, или экспорт составляет 185,8% от импорта.

Индекс сравнения – это сравнение (соотношение) разных объектов по одинаковым признакам. Он определяется по формуле (8):

где А , Б – сравниваемые объекты.

В рассмотренном выше примере, в котором сопоставлялись величины экспорта США и России, был рассчитан именно индекс сравнения по формуле (8): i с = 904,383/243,569 = 3,71. Меняя базу сравнения (то есть экспорт России – объект А, а экспорт США – объект Б), по той же формуле получим: i с = 243,569/904,383 = 0,27, то есть экспорт России составляет 27% от экспорта США.

Индекс интенсивности – это соотношение разных признаков одного объекта между собой. Он определяется по формуле (9):

где X – один признак объекта; Y – другой признак этого же объекта

Например, показатели выработки продукции в единицу рабочего времени, затрат на единицу продукции, цены единицы продукции и т.д.

Валерий Галасюк – академик АЭН Украины, генеральный директор аудиторской фирмы “КАУПЕРВУД” (г. Днепропетровск), член Президиума Совета Союза аудиторов Украины, член Аудиторской Палаты Украины, председатель ревизионной комиссии Украинского общества оценщиков, заместитель председателя Правления Ассоциации налогоплательщиков Украины, заместитель председателя комиссии по оценке эффективности инвестиционной деятельности Украинского общества финансовых аналитиков, ведущий оценщик Украинского общества оценщиков
Виктор Галасюк – директор департамента кредитного консалтинга информационно-консалтинговой фирмы “ИНКОН-ЦЕНТР” (консалтинговая группа “КАУПЕРВУД”), магистр экономики предприятия, лауреат конкурсов молодых оценщиков Украинского общества оценщиков

Математика – единственный совершенный метод,
позволяющий провести самого себя за нос
Эйнштейн

Мое дело сказать правду, а не заставить верить в нее
Руссо

Данная статья посвящена фундаментальной проблеме, возникающей в процессе численного сравнения величин. Сущность этой проблемы заключается в том, что при определенных условиях различные способы численного сравнения одних и тех же величин фиксируют разную степень их неравенства . Уникальность данной проблемы состоит не столько в том, что она до сих пор не была решена, хотя, казалось бы, процедуры численного сравнения досконально изучены и не вызывают вопросов даже у школьников, сколько в том, что она до сих пор не нашла должного отражения в общественном сознании и, что еще более важно, в практической деятельности.

Как известно, численно сравнивать две величины можно либо отвечая на вопрос «На сколько одна величина больше другой?», либо отвечая на вопрос «Во сколько раз одна величина больше другой?». То есть для того, чтобы численно сравнить две величины необходимо либо вычесть одну из другой (), либо разделить одну на другую (). При этом, как показали исследования, существует всего два исходных типа критериев численного сравнения величин: и , и ни один из них не имеет исключительного права на существование .

Возможны всего 13 качественно различающихся вариантов соотношения на числовой оси значений двух сравниваемых величин X и Y (см. рис.1) .

При сравнении двух величин X и Y на базе критерия сравнения при любом варианте их соотношения на числовой оси не возникает проблем. Ведь независимо от значений величин X и Y, критерий сравнения однозначно характеризует расстояние между точками X и Y на числовой оси.

Вместе с тем использование критерия сравнения для сравнения величин X и Y при некоторых вариантах их соотношения на числовой оси может привести к возникновению проблем , так как в этих случаях значения величин X и Y могут оказать значительное влияние на результаты сравнения. Например, при сравнении величин 0,0100000001 и 0,0000000001, соответствующих варианту 5 на «четках Галасюка», использование критерия сравнения показывает, что первое число больше второго на 0,01, а использование критерия сравнения показывает, что первое число больше второго в 100 000 001 раз. Таким образом, при определенном соотношении сравниваемых величин на числовой оси, критерий сравнения указывает на незначительную степень неравенства сравниваемых величин X и Y, а критерий сравнения указывает на значительную степень их неравенства .

Или, например, при сравнении величин 1 000 000 000 100 и
1 000 000 000 000, соответствующих тому же варианту 5 на «четках Галасюка», использование критерия сравнения показывает, что первое число больше второго на 100, а использование критерия сравнения показывает, что первое число приблизительно равно второму, поскольку оно больше второго числа лишь в 1,0000000001 раз. Таким образом, при определенном соотношении сравниваемых величин на числовой оси, критерий сравнения указывает на значительную степень неравенства сравниваемых величин X и Y, а критерий сравнения указывает на незначительную степень их неравенства .

Поскольку проблема, о которой идет речь в данной статье, возникает лишь при использовании критерия сравнения , то для ее изучения рассмотрим сравнение двух величин m и n на базе критерия сравнения . Для сравнения этих величин разделим m на n : .

Анализ результатов сравнения величин m и n осуществим в два этапа: на первом неизменным примем знаменатель отношения – величину n , на втором числитель - величину m (см.рис.2).

Для осуществления первого этапа анализа построим график зависимости отношения от величины m (см.рис.3), при этом следует отметить, что при n =0 отношение не определено.

Как видно на рисунке 3, если n=const, n¹0, то при |m|→∞ отношение | |→∞, а при |m|→0 отношение | |→0.

Для осуществления второго этапа анализа, построим график зависимости отношения от величины n (см.рис.4), при этом следует отметить, что при n =0 отношение не определено.

Как видно на рисунке 4, если m=const, m¹0, n¹0, то при |n|→∞ отношение | |→0, а при |n|→0 отношение | |→∞. Следует обратить внимание, что при возрастании значений |n | равные изменения |n | влекут все меньшие изменения отношения | |. А при приближении к нулю значений |n | равные изменения |n | влекут все большие изменения отношения | |.

Обобщив результаты I и II этапов анализа, представим их в виде следующей таблицы, включив в нее также и результаты анализа сравнения на базе исходного типа критериев (см. табл.1). Ситуации, при которых X=0 и Y=0 нами здесь не рассматриваются. Мы надеемся проанализировать их в будущем.

Таблица 1

Обобщенные результаты анализа сравнения величин X и Y
на основе двух исходных типов критериев сравнения

(X ¹ 0 и Y ¹ 0)

С самых давних пор людей серьезно интересовал вопрос о том, как удобнее всего сравнить величины, выраженные в разных значениях. И дело здесь не только в природной любознательности. Человек древнейших земных цивилизаций придавал этому довольно непростому делу сугубо прикладное значение. Корректно измерить землю, определить вес продукта на рынке, рассчитать необходимое соотношение товаров при бартере, определить верную норму винограда при заготовке вина - вот лишь малая толика задач, которые часто всплывали в и без того нелёгкой жизни наших предков. Поэтому малообразованные и неграмотные люди при необходимости сравнить величины шли за советом к своим более опытным товарищам, а те нередко брали за такую услугу соответствующую мзду, и довольно неплохую, кстати.

Что можно сравнивать

В наше время этому занятию также отводится немалая роль в процессе изучения точных наук. Всем, конечно, известно, что сравнивать необходимо однородные величины, то есть яблоки - с яблоками, а свеклу - со свеклой. Никому и в голову не придет попробовать выразить градусы Цельсия в километрах или килограммы в децибелах, зато длину удава в попугаях мы знаем с самого детства (для тех, кто не помнит: в одном удаве - 38 попугаев). Хотя попугаи тоже бывают разные, и на самом деле длина удава будет различаться в зависимости от подвида попугая, но это уже детали, в которых мы и попробуем разобраться.

Размерности

Когда в задании указано: "Сравни значения величин", необходимо эти самые величины привести к одному знаменателю, то есть выразить в одних и тех же значениях для удобства сравнения. Понятное дело, что сравнить значение, выраженное в килограммах, со значением, выраженным в центнерах или в тоннах, для многих из нас не составит особого труда. Однако существуют однородные величины, выразить которые можно в разных размерностях и, более того, в разных системах измерения. Попробуйте, например, сравнить величины кинематической вязкости и определить, какая из жидкостей является более вязкой в сантистоксах и квадратных метрах в секунду. Не получается? И не получится. Для этого нужно оба значения отразить в одних и тех же величинах, а уже по числовому значению определить, какое из них превосходит соперника.

Система измерения

Для того чтобы понять, какие величины можно сравнивать, попытаемся вспомнить существующие системы измерения. Для оптимизации и ускорения расчетных процессов в 1875 году семнадцатью странами (в том числе Россией, США, Германией и др.) была подписана метрическая конвенция и определена метрическая система мер. Для разработки и закрепления эталонов метра и килограмма был основан Международный комитет мер и весов, а в Париже обустроено Международное бюро мер и весов. Эта система со временем эволюционировала в Международную систему единиц, СИ. В настоящее время эта система принята большинством стран в области технических расчетов, в том числе и теми странами, где традиционно в повседневной жизни используются национальные (например, США и Англия).

СГС

Однако параллельно с общепринятым стандартом эталонов развивалась и другая, менее удобная система СГС (сантиметр-грамм-секунда). Она была предложена в 1832 году немецким физиком Гауссом, а в 1874 году модернизирована Максвеллом и Томпсоном, в основном в области электродинамики. В 1889 году была предложена более удобная система МКС (метр-килограмм-секунда). Сравнение предметов по величине эталонных значений метра и килограмма для инженеров гораздо более удобно, нежели использование их производных (санти-, милли-, деци- и др.). Однако данная концепция также не нашла массовый отклик в сердцах тех, для кого она предназначалась. Во всём мире активно развивалась и использовалась поэтому расчеты в СГС проводили всё реже, а после 1960 года, с введением системы СИ, СГС и вовсе практически вышла из употребления. В настоящее время СГС реально применяют на практике лишь при расчетах в теоретической механике и астрофизике, и то из-за более простого вида записи законов электромагнетизма.

Пошаговая инструкция

Разберём подробно пример. Допустим, задача звучит так: "Сравните величины 25 т и 19570 кг. Какая из величин больше?" Что нужно сделать перво-наперво, это определить, в каких величинах у нас заданы значения. Итак, первая величина у нас задана в тоннах, а вторая - в килограммах. На втором шаге мы проверяем, не пытаются ли нас ввести в заблуждение составители задачи, пытаясь заставить сравнивать разнородные величины. Бывают и такие задания-ловушки, особенно в быстрых тестах, где на ответ к каждому вопросу дается 20-30 секунд. Как мы видим, значения однородны: и в килограммах, и в тоннах у нас измеряется масса и вес тела, поэтому вторая проверка пройдена с положительным результатом. Третий шаг, переводим килограммы в тонны или, наоборот, тонны - в килограммы для удобства сравнения. В первом варианте получается 25 и 19,57 тонн, а во втором: 25 000 и 19 570 килограмм. И вот теперь можно со спокойной душой сравнить величины этих значений. Как наглядно видно, первое значение (25 т) в обоих случаях больше, чем второе (19 570 кг).

Ловушки

Как уже упоминалось выше, современные тесты содержат очень много заданий-обманок. Это необязательно разобранные нами задачи, ловушкой может оказаться довольно безобидный с виду вопрос, особенно такой, где напрашивается вполне логичный ответ. Однако коварство, как правило, кроется в деталях или в маленьком нюансе, которые составители задания пытаются всячески замаскировать. Например, вместо уже знакомого вам по разобранным задачам с постановкой вопроса: "Сравни величины там, где это возможно" - составители теста могут просто попросить вас сравнить указанные величины, а сами величины выбрать поразительно похожие друг на друга. Например, кг*м/с 2 и м/с 2 . В первом случае это сила, действующая на объект (ньютоны), а во втором - ускорение тела, или м/с 2 и м/с, где вас просят сравнить ускорение со скоростью тела, то есть абсолютно разнородные величины.

Сложные сравнения

Однако очень часто в заданиях приводят два значения, выраженные не только в разных единицах измерения и в разных системах исчисления, но и отличные друг от друга по специфике физического смысла. Например, в постановке задачи сказано: "Сравни значения величин динамической и кинематической вязкостей и определи, какая жидкость более вязкая". При этом значения указаны в единицах СИ, то есть в м 2 /с, а динамической - в СГС, то есть в пуазах. Как поступить в этом случае?

Для решения таких задач можно воспользоваться представленной выше инструкцией с небольшим её дополнением. Определяемся, в какой из систем будем работать: пусть это будет общепринятая среди инженеров. Вторым шагом мы также проверяем, а не ловушка ли это? Но в данном примере тоже всё чисто. Мы сравниваем две жидкости по параметру внутреннего трения (вязкости), поэтому обе величины однородны. Третьим шагом переводим из пуазов в паскаль-секунду, то есть в общепринятые единицы системы СИ. Далее переводим кинематическую вязкость в динамическую, умножая её на соответствующее значение плотности жидкости (табличное значение), и сравниваем полученные результаты.

Вне системы

Существуют также внесистемные единицы измерения, то есть единицы, не вошедшие в СИ, но согласно результатам решений созыва Генеральных конференций по мерам и весам (ГКВМ), допустимые для совместного использования с СИ. Сравнивать такие величины между собой можно только при их приведении к общему виду в стандарте СИ. К внесистемным относятся такие единицы, как минута, час, сутки, литр, электрон-вольт, узел, гектар, бар, ангстрем и многие другие.